Valore atteso nella roulette: cos’è la speranza matematica?

Sono tante le formule di matematica applicate nel gioco, soprattutto nella roulette, dalla deviazione standard al triangolo di Pascal. In questo articolo ci concentriamo su una formula molto interessante, il valore atteso, conosciuto anche come speranza matematica.

In pratica il valore atteso non si limita alla determinazione della probabilità di vittoria, ma la mette in relazione con il capitale impiegato e la vincita ottenuta. Analizziamo meglio nei seguenti paragrafi di cosa si tratta e come calcolarlo.

La formula del valore atteso

Per capire meglio cos’è il valore atteso dobbiamo un po’ rispolverare le nostre reminiscenze matematiche partendo dalla formula, che non è particolarmente complessa. Eccola:

E= V x p + q x (-B).

I valori sono i seguenti:

• V= vincita;
• p= casi favorevoli/ casi possibili;
• q= 1 – p;
• B= puntata.

La speranza matematica è quindi la probabile vincita in numero di pezzi moltiplicato per la probabilità di vincita più la probabilità di sconfitta moltiplicata per il negativo dei pezzi puntati.

Il calcolo del valore atteso secondo il professor Arthur Benjamin

Per capire meglio come calcolare il valore monetario atteso ci rifacciamo ad Arthur Benjamin, matematico e professore di una prestigioso università statunitense specializzato in combinatoria e noto per le sue capacità di matematica mentale.

Cosa dice il professore? Il suo calcolo è stato effettuato sulla roulette americana, quindi è il caso di capire le differenze con quella europea. La roulette americana di differenzia da quella europea per la presenza dello “00”, una diversa disposizione di numeri e differenti tipologie di puntate che si possono effettuare.

A causa della presenza dello “00”, secondo Bejamin, il calcolo del valore atteso porta ad una conclusione non immediatamente preventivabile. Il professore osserva che la roulette americana ha 38 numeri: 18 rossi, 18 neri e 2 verdi (“0” e “00”). La puntata più semplice sarebbe quella del colore, che paga il doppio. Se punti un euro vinci un euro. Tuttavia, calcolando le probabilità, ci sono 18/38 probabilità di vincere e 20/38 di perdere. In conclusione la probabilità di vincere è 18/38= 0,473, cioè il 47,3%. Insomma il banco parte in una posizione di svantaggio, ma questa non è certo una novità.

Per calcolare l’effettivo svantaggio è necessario considerare la speranza matematica, ossia la media ponderata di quanto si vince e si perde effettivamente.

Come calcolare il valore monetario atteso: esempi pratici

Partendo dal concetto sviluppato dal professor Benjamin, ecco un esempio pratico per avere le idee più chiare.

Tenendo come riferimento sempre una roulette americana, quando punti un euro rosso hai:

• una probabilità di vincere pari a 18/38;
• probabilità di perdere pari a 20/38.

Il valore atteso equivale a 1 x (18/38) + (-1) x (20/38) = -0.526. In media quindi perderai 5,26 centesimi (0,0526 euro) per ogni euro scommesso.

Ovviamente ci sono anche altre opzioni di scommessa oltre al colore. Ipotizziamo che tu decida di scommettere su un numero compreso tra 1 e 12. Se punti un euro sulla prima dozzina, il casinò paga 2 a 1 questa scommessa, quindi 2 euro.

La probabilità di vincere 2 euro equivale a 12/38, mentre quella di perdere un euro è di 26/38. Per calcolare il valore atteso la formula è la seguente: 2 x (12/38) + (-1) x (26/38) = -0.526. Noti qualcosa di strano? É lo stesso valore della precedente giocata.

Un altro esempio: supponiamo che tu decida di rendere la scommessa più avvincente e puntare un euro su un singolo numero. In tal caso il casinò paga 35 a 1. Hai 1/38 probabilità di vincere 35 euro e 37/38 possibilità di perdere un euro. In base alla solita formula abbiamo: 35 x (1/38) + (-1) x(37/38)= -0.526. Ancora una volta lo stesso risultato!

Quando giochi alla roulette in pratica ogni scommessa ha lo stesso valore atteso di circa 5,3 centesimi in negativo per ogni euro scommesso. Considera che nella roulette europea i valori sono leggermente più bassi, poiché è presente un singolo “0”.

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